Den Code der Quantenmechanik knacken

Die Wissenschaftler haben enorme Fortschritte beim Verständnis der Gesetze gemacht, die die mikroskopische Welt der Quantenmechanik bestimmen. Ein anhaltendes Rätsel war jedoch, wie die vollkommen glatte mathematische Beschreibung der Quantentheorie mit den eigentümlichen diskretisierten, "quantisierten" Energieniveaus, die Atome und Moleküle tatsächlich besitzen können, in Einklang gebracht werden kann. Eine neue Studie, die in SciPost Physics veröffentlicht wurde, knackt endlich diesen Code, indem sie einen einheitlichen mathematischen Rahmen entwickelt, der als "Transserie" bezeichnet wird und sowohl die quantisierten Energieniveaus als auch die winzigen Fluktuationen - bekannt als Instantonen - zwischen ihnen erfasst.

Die Quantenmechanik schreibt bekanntlich vor, dass die möglichen Energien, die ein Elektron in einem Atom haben kann, auf bestimmte quantisierte Werte beschränkt sind und nicht fließend variieren können. Diese Quantisierung ergibt sich aus der wellenartigen Natur der Materie auf der Quantenskala. Im Rahmen der Störungstheorie, bei der die Korrekturen der Energien auf der Grundlage der Stärke der Quantenfluktuationen nacheinander berechnet werden, erscheinen die Energien jedoch als ein kontinuierliches Spektrum. Physiker vermuten seit langem, dass in den Ergebnissen der Störungstheorie Hinweise auf das wahre gequantelte Spektrum und auf Instant-Effekte verborgen sind, die diskrete Sprünge zwischen den Energieniveaus verursachen.

Zwei niederländische Physiker, Alexander van Spaendonck und Marcel Vonk, haben diese rätselhafte Verbindung nun mit Hilfe leistungsfähiger mathematischer Werkzeuge aufgeklärt, die ursprünglich zur Untersuchung komplexer Probleme in der Physik und nichtlinearer Gleichungen entwickelt wurden. Ihr Ansatz kombiniert neue Techniken der "Wiederauferstehungstheorie", die Divergenzen in der Störungstheorie mit nicht-störenden Effekten in Verbindung bringt, mit dem "Alien-Kalkül", einer Sprache zur Quantifizierung subtiler Diskontinuitäten, die als Stokes-Phänomene bekannt sind und bei der Zusammenfassung divergenter Reihen entstehen.

Van Spaendonck und Vonk wandten ihren Rahmen auf drei archetypische Quantensysteme an: den einfachen harmonischen Oszillator, der einem kubischen Potenzial, einem Doppelwell-Potenzial und einem periodischen Kosinus-Potenzial ausgesetzt ist. Für jedes dieser Systeme leiteten sie exakte Ausdrücke ab, die die quantisierten Energieniveaus für alle Störungsordnungen sowie die Beiträge des Quantentunnelns zwischen den Wells erfassen. Ihre vielleicht tiefgreifendste Erkenntnis ist, dass sich all diese Informationen auf natürliche Weise zu einem einzigen mathematischen Objekt, einer so genannten "Transserie", zusammenfügen.

Eine Transserie erweitert die Energie nicht nur als einfache Störungsreihe, sondern als eine Kombination von Reihen, die mit exponentiellen, nicht-störenden Korrekturen wie e-E/ħ verbunden sind, wobei E die Energie und ħ die reduzierte Planck-Konstante ist. Sie stellt eine minimale Struktur dar, die durch analytische Fortführung geschlossen wird, so dass alle unphysikalischen Diskontinuitäten, die sich aus der Summierung ergeben, aufgehoben werden. Van Spaendonck und Vonk zeigten, dass in einer Transserie alle Informationen über diskrete Quantisierung, Tunnelamplituden zwischen Zuständen und subtile Stokes-Diskontinuitäten systematisch kodiert sind.

"Anhand unserer Beschreibung des Stokes'schen Phänomens konnten wir zeigen, dass bestimmte Unklarheiten, die die 'klassischen' Methoden zur Berechnung nicht-perturbativer Effekte geplagt hatten - und zwar unendlich viele - bei unserer Methode wegfallen. Die zugrunde liegende Struktur erwies sich als noch schöner, als wir ursprünglich erwartet hatten.

Alexander van Spaendonck

Um die Struktur der Transserie zu verdeutlichen, führten sie einen einzigen Parameter σ ein und formulierten einen allgemeinen Ausdruck für die Energie in Abhängigkeit von diesem Parameter. Alle modellspezifischen Details werden dann in Koeffizienten komprimiert, die explizit berechnet werden können. Sie extrahierten die Quantisierungsbedingung und die Tunnelinformationen, indem sie untersuchten, wie sich σ über Stokes-Linien in der komplexen Ebene transformiert - Phänomene, die durch die seltsamen Ableitungsoperatoren des "Alien-Kalküls" bestimmt werden.

Es haben sich einige universelle Lehren ergeben. In Doppelmuldensystemen faktorisiert sich die Energietransserie in eine "minimale Transserie" plus eine zusätzliche "mittlere Transserie". Und für das periodische Kosinus-Potential identifizierten sie topologische Sektoren im Parameterraum, in denen sich quantisierte Energiebänder befinden. Instanton-Effekte hängen von einer kontinuierlichen Winkelvariablen θ innerhalb jedes Bandes ab, was die Studie mit Begriffen wie "Wiederauferstehungsdreiecken" verbindet, in denen sich die Topologie manifestiert.

Diese Meisterleistung etabliert quantenmechanische Systeme als ideale Sandkästen für die Untersuchung der Wiederauferstehung und ihrer Rolle bei der Verbindung von störungsfreier und störungsbehafteter Physik. Van Spaendoncks und Vonks vereinheitlichter Transserien-Rahmen schließt schließlich den Kreis zwischen Diracs ursprünglicher Vision der Quantisierung und den nachfolgenden Entwicklungen in der Instantenrechnung und der asymptotischen Analyse. Es bietet einen Stein des Anstoßes, um zwischen verschiedenen mathematischen Perspektiven auf Quantenphänomene zu übersetzen. Bei weiterer Entwicklung könnten ihre Ideen Licht auf alles werfen, von kondensierter Materie bis hin zur Quantenfeldtheorie und sogar zur Quantengravitation. Durch das Knacken des Quantencodes bringt uns diese Arbeit einer vollständigen Lösung des Rätsels der Quantisierung selbst näher.

Hinweis(e)

1. Alexander van Spaendonck, Marcel Vonk. Exakte instantonale Transserien für die Quantenmechanik. SciPost Physics, 2024; 16 (4) DOI: 10.21468/SciPostPhys.16.4.103

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