Percer le code de la mécanique quantique

Les scientifiques ont fait d'énormes progrès dans la compréhension des lois qui régissent le monde microscopique de la mécanique quantique. Toutefois, un mystère persiste : comment concilier la description mathématique parfaitement lisse de la théorie quantique avec les niveaux d'énergie discrétisés, "quantifiés", que les atomes et les molécules peuvent réellement posséder ? Une nouvelle étude publiée dans SciPost Physics lève enfin le voile sur cette question en élaborant un cadre mathématique unifié appelé "transsérie" qui capture à la fois les niveaux d'énergie quantifiés et les minuscules fluctuations - connues sous le nom d'instantons - qui les séparent.

La mécanique quantique stipule que les énergies possibles d'un électron dans un atome sont limitées à des valeurs quantifiées spécifiques et ne peuvent pas varier de façon régulière. Cette quantification découle de la nature ondulatoire de la matière à l'échelle quantique. Cependant, dans le cadre de la théorie des perturbations, qui calcule les corrections des énergies ordre par ordre en fonction de l'intensité des fluctuations quantiques, les énergies apparaissent sous la forme d'un spectre continu. Les physiciens soupçonnent depuis longtemps que les résultats de la théorie des perturbations recèlent des indices sur le véritable spectre quantifié et sur les effets d'instantanés qui provoquent des sauts discrets entre les niveaux d'énergie.

Deux physiciens néerlandais, Alexander van Spaendonck et Marcel Vonk, ont maintenant élucidé ce lien mystérieux en utilisant de puissants outils mathématiques développés à l'origine pour étudier des problèmes complexes en physique et des équations non linéaires. Leur approche combine de nouvelles techniques dans la "théorie de la résurgence", qui relie les divergences dans la théorie des perturbations à des effets nonperturbatifs, avec le "calcul extraterrestre", un langage permettant de quantifier les discontinuités subtiles connues sous le nom de phénomènes de Stokes qui surviennent lors de la resomption de séries divergentes.

Van Spaendonck et Vonk ont appliqué leur cadre à trois systèmes quantiques archétypaux : l'oscillateur harmonique simple soumis à un potentiel cubique, un potentiel à double puits et un potentiel périodique en cosinus. Pour chacun de ces systèmes, ils ont dérivé des expressions exactes capturant les niveaux d'énergie quantifiés à tous les ordres de perturbation, ainsi que les contributions de l'effet tunnel quantique entre les puits. Leur idée la plus profonde est peut-être que toutes ces informations se rassemblent naturellement en un seul objet mathématique appelé "transsérie".

Une transsérie développe l'énergie non pas comme une simple série de perturbations, mais comme une combinaison de séries associées à des corrections nonperturbatives exponentielles telles que e-E/ħ, où E est l'énergie et ħ est la constante de Planck réduite. Il s'agit d'une structure minimale fermée dans le cadre d'une continuation analytique, garantissant l'annulation de toute discontinuité non physique résultant de la resummation. Van Spaendonck et Vonk ont montré qu'au sein d'une transsérie, toutes les informations relatives à la quantification discrète, aux amplitudes d'effet tunnel entre les états et aux discontinuités subtiles de Stokes sont systématiquement encodées.

En utilisant notre description du phénomène de Stokes, nous avons pu montrer que certaines ambiguïtés qui avaient entaché les méthodes "classiques" de calcul des effets nonperturbatifs - infiniment nombreux, en fait - disparaissaient toutes dans notre méthode. La structure sous-jacente s'est révélée encore plus belle que nous ne l'avions imaginé"

Alexander van Spaendonck

Pour élucider la structure des séries, ils ont introduit un seul paramètre σ et formulé une expression générique pour l'énergie en fonction de ce paramètre. Tous les détails spécifiques au modèle sont alors comprimés dans des coefficients qui peuvent être calculés explicitement. Ils ont extrait la condition de quantification et les informations relatives à l'effet tunnel en étudiant la façon dont σ se transforme à travers les lignes de Stokes dans le plan complexe - des phénomènes dictés par les étranges opérateurs dérivés du "calcul extraterrestre".

Quelques leçons universelles ont été tirées. Dans les systèmes à double puits, la transsérie énergétique se factorise en une "transsérie minimale" plus une "transsérie médiane" auxiliaire. Et pour le potentiel cosinus périodique, ils ont identifié des secteurs topologiques dans l'espace des paramètres où résident des bandes d'énergie quantifiées. Les effets des instantons dépendent d'une variable angulaire continue θ dans chaque bande, ce qui relie l'étude aux notions de "triangles de résurgence" où la topologie se manifeste.

Ce tour de force établit que les systèmes de mécanique quantique sont des bacs à sable idéaux pour étudier la résurgence et son rôle dans la connexion entre la physique perturbative et nonperturbative. Le cadre unifié des trans-séries de Van Spaendonck et Vonk permet enfin de boucler la boucle entre la vision originale de la quantification de Dirac et les développements ultérieurs du calcul des instantons et de l'analyse asymptotique. Il constitue une pierre de Rosette permettant de passer d'une perspective mathématique à une autre sur les phénomènes quantiques. Si elles sont développées plus avant, leurs idées pourraient éclairer tous les domaines, de la matière condensée à la théorie quantique des champs et même à la gravité quantique. En déchiffrant le code quantique, ces travaux nous rapprochent d'une solution complète à l'énigme de la quantification elle-même.

Référence(s)

1. Alexander van Spaendonck, Marcel Vonk. Transmissions instantanées exactes pour la mécanique quantique. SciPost Physics, 2024 ; 16 (4) DOI : 10.21468/SciPostPhys.16.4.103

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