Descifrar el código de la mecánica cuántica

Los científicos han avanzado enormemente en la comprensión de las leyes que rigen el mundo microscópico de la mecánica cuántica. Sin embargo, un misterio permanente ha sido cómo conciliar la descripción matemática perfectamente lisa de la teoría cuántica con los peculiares niveles de energía discretizados, "cuantizados", que pueden poseer realmente los átomos y las moléculas. Un nuevo estudio publicado en SciPost Physics descifra por fin este código al desarrollar un marco matemático unificado denominado "transerie" que capta tanto los niveles de energía cuantizados como las diminutas fluctuaciones -conocidas como instantones- entre ellos.

La mecánica cuántica dicta que las energías posibles de un electrón dentro de un átomo están restringidas a valores cuantizados específicos en lugar de poder variar suavemente. Esta cuantización se debe a la naturaleza ondulatoria de la materia a escala cuántica. Sin embargo, en el marco de la teoría de perturbaciones -que calcula las correcciones de las energías orden a orden en función de la fuerza de las fluctuaciones cuánticas-, las energías aparecen como un espectro continuo. Los físicos sospechan desde hace tiempo que los resultados de la teoría de perturbaciones esconden pistas sobre el verdadero espectro cuantizado y los efectos instantáneos que provocan saltos discretos entre niveles de energía.

Dos físicos holandeses, Alexander van Spaendonck y Marcel Vonk, han resuelto ahora esta misteriosa conexión utilizando potentes herramientas matemáticas desarrolladas originalmente para estudiar problemas complejos de física y ecuaciones no lineales. Su enfoque combina nuevas técnicas de la "teoría de la resurgencia", que relaciona las divergencias en la teoría de perturbaciones con efectos no perturbativos, con el "cálculo alienígena", un lenguaje para cuantificar discontinuidades sutiles conocidas como fenómenos de Stokes que surgen al resumir series divergentes.

Van Spaendonck y Vonk aplicaron su marco a tres sistemas cuánticos arquetípicos: el oscilador armónico simple sometido a un potencial cúbico, un potencial de doble pozo y un potencial coseno periódico. Para cada uno de ellos, obtuvieron expresiones exactas que capturan los niveles de energía cuantizados en todos los órdenes de perturbación, junto con las contribuciones del efecto túnel cuántico entre pozos. Quizá su idea más profunda es que toda esta información se reúne de forma natural en un único objeto matemático llamado "transerie".

Una transerie expande la energía no sólo como una simple serie de perturbaciones, sino como una combinación de series unidas con correcciones exponenciales no perturbativas como e-E/ħ, donde E es la energía y ħ es la constante reducida de Planck. Representa una estructura mínima cerrada bajo continuación analítica, asegurando que cualquier discontinuidad no física que surja de la sumatoria se anule. Van Spaendonck y Vonk demostraron que en una transerie se codifica sistemáticamente toda la información sobre la cuantización discreta, las amplitudes de tunelización entre estados y las sutiles discontinuidades de Stokes.

"Utilizando nuestra descripción del fenómeno de Stokes, pudimos demostrar que ciertas ambigüedades que habían plagado los métodos 'clásicos' de cálculo de efectos no perturbativos -infinitamente muchos, de hecho- desaparecían todas en nuestro método. La estructura subyacente resultó ser incluso más bella de lo que esperábamos en un principio"

Alexander van Spaendonck

Para dilucidar la estructura de las transeries, introdujeron un único parámetro σ y formularon una expresión genérica para la energía en términos de éste. Todos los detalles específicos del modelo se comprimen entonces en coeficientes que pueden calcularse explícitamente. Extrajeron la condición de cuantización y la información de tunelización estudiando cómo σ se transforma a través de las líneas de Stokes en el plano complejo -fenómenos dictados por los extraños operadores derivados del "cálculo alienígena".

Surgieron algunas lecciones universales. En los sistemas de doble pozo, la transserie de energía se factoriza en una "transserie mínima" más una "transserie mediana" auxiliar. Y para el potencial coseno periódico, identificaron sectores topológicos en el espacio de parámetros donde residen bandas de energía cuantizada. Los efectos de los instantones dependen de una variable angular continua θ dentro de cada banda, lo que vincula el estudio a las nociones de "triángulos de resurgimiento" donde se manifiesta la topología.

Este tour de force establece los sistemas mecánicos cuánticos como cajas de arena ideales para estudiar la resurgencia y su papel en la conexión de la física perturbativa y no perturbativa. El marco unificado de transseries de Van Spaendonck y Vonk cierra finalmente el bucle entre la visión original de Dirac de la cuantización y los desarrollos posteriores en el cálculo de instantones y el análisis asintótico. Proporciona una piedra Rosetta para la traducción entre diferentes perspectivas matemáticas de los fenómenos cuánticos. Con un mayor desarrollo, sus ideas podrían arrojar luz sobre todo, desde la materia condensada hasta la teoría cuántica de campos e incluso la gravedad cuántica. Al descifrar el código cuántico, este trabajo nos acerca a una solución completa del propio enigma de la cuantización.

Referencia(s)

1. Alexander van Spaendonck, Marcel Vonk. Exact instanton transseries for quantum mechanics. SciPost Physics, 2024; 16 (4) DOI: 10.21468/SciPostPhys.16.4.103

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